調和分析，偏微分方程，概率

　　芝加哥大學，物理學院院長、梅森(Max Mason)杰出服務數(shù)學教授

　　我的母親在德國長大，就讀的學校以紀律極其嚴格為主要特色，而且特別缺乏數(shù)學方面的教育，因此她徹底討厭數(shù)學。我的父親是經(jīng)濟學家，他取得博士學位用到的數(shù)學還不夠一門微積分課程的要求，因為他的老師告訴他，經(jīng)濟學與數(shù)學沒有一點關系。他在高中曾經(jīng)一直擅長數(shù)學，就像其他學生一樣，他喜歡并重視這門學科，而且他一直渴望自學微積分。我的父母有兩個兒子，而且都成為了數(shù)學家。我認為，在很大程度上，父親對數(shù)學的態(tài)度和經(jīng)驗影響了我們的學術抱負，而母親只能在一旁驚訝地觀望。

　　哥哥查爾斯(Charles) 為我樹立了一個卓越的榜樣，記得看到他的絢爛成就和熱情時，我也非常欣賞數(shù)學，雖然我在學校的早期經(jīng)歷并不是非常令人滿意。我對數(shù)學的喜愛直到高中后期才發(fā)展起來，那時我遇到了一個杰出的微積分老師。正是在這門課上，我決定認真地考慮做一個數(shù)學家，數(shù)學的優(yōu)美和深度也變得極其清晰。我記得我一生中最好的教育經(jīng)歷是閱讀函數(shù)論方面的東西，我進入大學非常堅定地要追求這個學科作為主攻方向。在馬里蘭大學，我的教授，特別是霍瓦特(John Horvath)和馬克莉(Nelson Markley)，在為我指點進入研究生院成長所需要的背景方面展現(xiàn)出極大的天賦和耐心。當我進入普林斯頓研究生院時，我相信我已經(jīng)準備好從那個極其富饒的環(huán)境中汲取營養(yǎng)。

　　進入普林斯頓時，我腦子里確實有一個小小的疑問，我應該請誰來指導我的論文呢？施泰因(E. M. Stein)是一個特別有天分的研究者，而且有非常吸引人的廣泛的數(shù)學興趣，作為教師，也具有同等的天賦和魅力。

　　發(fā)展于三角級數(shù)的研究的現(xiàn)代調和分析，非常深刻地聯(lián)系于一些如此吸引人的課題，如集合論和數(shù)論、復變函數(shù)論、賭博游戲和概率論、實變函數(shù)的最基本的概念，例如如何將一個函數(shù)分解為較大部分與較小部分。學到這些真是美妙。調和分析與偏微分方程之間的聯(lián)系——也許自傅里葉(Fourier)的發(fā)現(xiàn)開始，就包含在這一理論中——強調了這個重要數(shù)學分支的應用方面。我認為這些聯(lián)系說明了調和分析和一般的數(shù)學的一個最吸引人的雙重性質：一是它作為優(yōu)美的藝術形式，二是作為可以適用于人類知識的幾乎所有領域的基本應用的最正宗的來源。

　　我特別感興趣的是芝加哥大學的卡爾德隆(Alberto Calderón)和濟格蒙德(Antoni Zygmund)在調和分析中開創(chuàng)的領域：奇異積分。曾在芝加哥接受過研究生教育的施泰因已經(jīng)就這個課題寫了一本經(jīng)典教材(譯者注：有中譯本《奇異積分與函數(shù)的可微性》， 程民德等譯，北京大學出版社，1986年。)，它引導了許多幸福的學生進入這塊可愛的分析領域。他強調了一些稱為“極大算子”的對象居于中心地位，它們控制了這些奇異積分的性態(tài)，我全力投入到更好地理解這些極大算子的嘗試中。這項研究工作開始之后不久，我離開普林斯頓研究生院來到了芝加哥大學。這個領域的幾位數(shù)學家表述了幾個與將卡爾德隆—濟格蒙德理論推廣到具有高維奇點集的奇異積分相關的問題。即便是這個推廣的最簡單的情形在那時也是完全神秘的，這就是乘積理論。這個理論提出的挑戰(zhàn)就好比，你身上帶了兩塊表以掌握時間，但這兩塊表上所顯示的時間各不一樣而且各自獨立。這個狀況已然非常復雜了，卡爾松(Lennart Carleson)又給出了一個反例表明，通常的卡爾德隆—濟格蒙德并不能直接地推廣到這個新的框架下。幸運的是，由于許多人的努力，奇異積分的乘積理論現(xiàn)在已經(jīng)非常成型了，而且我們很好地理解了它是如何與經(jīng)典理論相融的。我特別感興趣的最后一個領域是調和分析對橢圓型方程的應用，特別是當方程中的系數(shù)非常粗糙的時候。

　　總而言之，我非常幸運有來自于我的家庭、老師和同事的友好而耐心的支持，這是一個很好的機會跟他們所有人說一聲：“謝謝你！”