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高斯求和

2009-11-19 17:04:15     

  德國著名數學家高斯幼年時代聰明過人,上學時,有一天老師出了一道題讓同學們計算:

  1+2+3+4+…+99+100=?

  老師出完題后,全班同學都在埋頭計算,小高斯卻很快算出答案等于5050。高斯為什么算得又快又準呢?原來小高斯通過細心觀察發現:

  1+100=2+99=3+98=…=49+52=50+51。

  1~100正好可以分成這樣的50對數,每對數的和都相等。于是,小高斯把這道題巧算為

  (1+100)×100÷2=5050。

  小高斯使用的這種求和方法,真是聰明極了,簡單快捷,并且廣泛地適用于“等差數列”的求和問題。

  若干個數排成一列稱為數列,數列中的每一個數稱為一項,其中第一項稱為首項,最后一項稱為末項。后項與前項之差都相等的數列稱為等差數列,后項與前項之差稱為公差。例如:

  (1)1,2,3,4,5,…,100;

  (2)1,3,5,7,9,…,99;

  (3)8,15,22,29,36,…,71。

  其中(1)是首項為1,末項為100,公差為1的等差數列;(2)是首項為1,末項為99,公差為2的等差數列;(3)是首項為8,末項為71,公差為7的等差數列。

  由高斯的巧算方法,得到等差數列的求和公式:

  和=(首項+末項)×項數÷2。

  例1 1+2+3+…+1999=?

  分析與解:這串加數1,2,3,…,1999是等差數列,首項是1,末項是1999,共有1999個數。由等差數列求和公式可得

  原式=(1+1999)×1999÷2=1999000。

  注意:利用等差數列求和公式之前,一定要判斷題目中的各個加數是否構成等差數列。

  例2 11+12+13+…+31=?

  分析與解:這串加數11,12,13,…,31是等差數列,首項是11,末項是31,共有31-11+1=21(項)。

  原式=(11+31)×21÷2=441。

  在利用等差數列求和公式時,有時項數并不是一目了然的,這時就需要先求出項數。根據首項、末項、公差的關系,可以得到

  項數=(末項-首項)÷公差+1,

  末項=首項+公差×(項數-1)。

  例3 3+7+11+…+99=?

  分析與解:3,7,11,…,99是公差為4的等差數列,

  項數=(99-3)÷4+1=25,

  原式=(3+99)×25÷2=1275。

  例4 求首項是25,公差是3的等差數列的前40項的和。

  解:末項=25+3×(40-1)=142,

  和=(25+142)×40÷2=3340。

  利用等差數列求和公式及求項數和末項的公式,可以解決各種與等差數列求和有關的問題。

  例5 在下圖中,每個最小的等邊三角形的面積是12厘米2,邊長是1根火柴棍。問:(1)最大三角形的面積是多少平方厘米?(2)整個圖形由多少根火柴棍擺成?

  分析:最大三角形共有8層,從上往下擺時,每層的小三角形數目及所用火柴數目如下表:

  由上表看出,各層的小三角形數成等差數列,各層的火柴數也成等差數列。

  解:(1)最大三角形面積為

  (1+3+5+…+15)×12

  =[(1+15)×8÷2]×12

  =768(厘米2)。

  (2)火柴棍的數目為

  3+6+9+…+24

  =(3+24)×8÷2=108(根)。

  答:最大三角形的面積是768厘米2,整個圖形由108根火柴擺成。

  例6 盒子里放有三只乒乓球,一位魔術師第一次從盒子里拿出一只球,將它變成3只球后放回盒子里;第二次又從盒子里拿出二只球,將每只球各變成3只球后放回盒子里……第十次從盒子里拿出十只球,將每只球各變成3只球后放回到盒子里。這時盒子里共有多少只乒乓球?

  分析與解:一只球變成3只球,實際上多了2只球。第一次多了2只球,第二次多了2×2只球……第十次多了2×10只球。因此拿了十次后,多了

  2×1+2×2+…+2×10

  =2×(1+2+…+10)

  =2×55=110(只)。

  加上原有的3只球,盒子里共有球110+3=113(只)。

  綜合列式為:

  (3-1)×(1+2+…+10)+3

  =2×[(1+10)×10÷2]+3=113(只)。

  練習3

  1.計算下列各題:

  (1)2+4+6+…+200;

  (2)17+19+21+…+39;

  (3)5+8+11+14+…+50;

  (4)3+10+17+24+…+101。

  2.求首項是5,末項是93,公差是4的等差數列的和。

  3.求首項是13,公差是5的等差數列的前30項的和。

  4.時鐘在每個整點敲打,敲打的次數等于該鐘點數,每半點鐘也敲一下。問:時鐘一晝夜敲打多少次?

  5.求100以內除以3余2的所有數的和。

  6.在所有的兩位數中,十位數比個位數大的數共有多少個?

來源:網絡

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