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速算與巧算(2)

2009-11-19 17:03:07     

  上一講我們介紹了一類兩位數乘法的速算方法,這一講討論乘法的“同補”與“補同”速算法。

  兩個數之和等于10,則稱這兩個數互補。在整數乘法運算中,常會遇到像72×78,26×86等被乘數與乘數的十位數字相同或互補,或被乘數與乘數的個位數字相同或互補的情況。72×78的被乘數與乘數的十位數字相同、個位數字互補,這類式子我們稱為“頭相同、尾互補”型;26×86的被乘數與乘數的十位數字互補、個位數字相同,這類式子我們稱為“頭互補、尾相同” 型。計算這兩類題目,有非常簡捷的速算方法,分別稱為“同補”速算法和“補同”速算法。

  例1 (1)76×74=? (2)31×39=?

  分析與解:本例兩題都是“頭相同、尾互補”類型。

  (1)由乘法分配律和結合律,得到

  76×74

  =(7+6)×(70+4)

  =(70+6)×70+(7+6)×4

  =70×70+6×70+70×4+6×4

  =70×(70+6+4)+6×4

  =70×(70+10)+6×4

  =7×(7+1)×100+6×4。

  于是,我們得到下面的速算式:

  (2)與(1)類似可得到下面的速算式:

  由例1看出,在“頭相同、尾互補”的兩個兩位數乘法中,積的末兩位數是兩個因數的個位數之積(不夠兩位時前面補0,如1×9=09),積中從百位起前面的數是被乘數(或乘數)的十位數與十位數加1的乘積。“同補”速算法簡單地說就是:

  積的末兩位是“尾×尾”,前面是“頭×(頭+1)”。

  我們在三年級時學到的15×15,25×25,…,95×95的速算,實際上就是“同補”速算法。

  例2 (1)78×38=? (2)43×63=?

  分析與解:本例兩題都是“頭互補、尾相同”類型。

  (1)由乘法分配律和結合律,得到

  78×38

  =(70+8)×(30+8)

  =(70+8)×30+(70+8)×8

  =70×30+8×30+70×8+8×8

  =70×30+8×(30+70)+8×8

  =7×3×100+8×100+8×8

  =(7×3+8)×100+8×8。

  于是,我們得到下面的速算式:

  (2)與(1)類似可得到下面的速算式:

  由例2看出,在“頭互補、尾相同”的兩個兩位數乘法中,積的末兩位數是兩個因數的個位數之積(不夠兩位時前面補0,如3×3=09),積中從百位起前面的數是兩個因數的十位數之積加上被乘數(或乘數)的個位數。“補同”速算法簡單地說就是:

  積的末兩位數是“尾×尾”,前面是“頭×頭+尾”。

  例1和例2介紹了兩位數乘以兩位數的“同補”或“補同”形式的速算法。當被乘數和乘數多于兩位時,情況會發生什么變化呢?

  我們先將互補的概念推廣一下。當兩個數的和是10,100,1000,…時,這兩個數互為補數,簡稱互補。如43與57互補,99與1互補,555與445互補。

  在一個乘法算式中,當被乘數與乘數前面的幾位數相同,后面的幾位數互補時,這個算式就是“同補”型,即“頭相同,尾互補”型。例如, 因為被乘數與乘數的前兩位數相同,都是70,后兩位數互補,77+23=100,所以是“同補”型。又如,

  等都是“同補”型。

  當被乘數與乘數前面的幾位數互補,后面的幾位數相同時,這個乘法算式就是“補同”型,即“頭互補,尾相同”型。例如,

  等都是“補同”型。

  在計算多位數的“同補”型乘法時,例1的方法仍然適用。

來源:網絡

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