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速算與巧算(1)

2009-11-19 17:02:10     

  計算是數學的基礎,小學生要學好數學,必須具有過硬的計算本領。準確、快速的計算能力既是一種技巧,也是一種思維訓練,既能提高計算效率、節省計算時間,更可以鍛煉記憶力,提高分析、判斷能力,促進思維和智力的發展。

  我們在三年級已經講過一些四則運算的速算與巧算的方法,本講和下一講主要介紹加法的基準數法和乘法的補同與同補速算法。

  例1 四年級一班第一小組有10名同學,某次數學測驗的成績(分數)如下:

  86,78,77,83,91,74,92,69,84,75。

  求這10名同學的總分。

  分析與解:通常的做法是將這10個數直接相加,但這些數雜亂無章,直接相加既繁且易錯。觀察這些數不難發現,這些數雖然大小不等,但相差不大。我們可以選擇一個適當的數作“基準”,比如以“80”作基準,這10個數與80的差如下:

  6,-2,-3,3,11,-6,12,-11,4,-5,其中“-”號表示這個數比80小。于是得到

  總和=80×10+(6-2-3+3+11-

  =800+9=809。

  實際計算時只需口算,將這些數與80的差逐一累加。為了清楚起見,將這一過程表示如下:

  通過口算,得到差數累加為9,再加上80×10,就可口算出結果為809。

  例1所用的方法叫做加法的基準數法。這種方法適用于加數較多,而且所有的加數相差不大的情況。作為“基準”的數(如例1的80)叫做基準數,各數與基準數的差的和叫做累計差。由例1得到:

  總和數=基準數×加數的個數+累計差,

  平均數=基準數+累計差÷加數的個數。

  在使用基準數法時,應選取與各數的差較小的數作為基準數,這樣才容易計算累計差。同時考慮到基準數與加數個數的乘法能夠方便地計算出來,所以基準數應盡量選取整十、整百的數。

  例2 某農場有10塊麥田,每塊的產量如下(單位:千克):

  462,480,443,420,473,429,468,439,475,461。求平均每塊麥田的產量。

  解:選基準數為450,則

  累計差=12+30-7-30+23-21+18-11+25+11

  =50,

  平均每塊產量=450+50÷10=455(千克)。

  答:平均每塊麥田的產量為455千克。

  求一位數的平方,在乘法口訣的九九表中已經被同學們熟知,如7×7=49(七七四十九)。對于兩位數的平方,大多數同學只是背熟了10~20的平方,而21~99的平方就不大熟悉了。有沒有什么竅門,能夠迅速算出兩位數的平方呢?這里向同學們介紹一種方法——湊整補零法。所謂湊整補零法,就是用所求數與最接近的整十數的差,通過移多補少,將所求數轉化成一個整十數乘以另一數,再加上零頭的平方數。下面通過例題來說明這一方法。

  例3 求292和822的值。

  解:292=29×29

  =(29+1)×(29-1)+12

  =30×28+1

  =840+1

  =841。

  822=82×82

  =(82-2)×(82+2)+22

  =80×84+4

  =6720+4

  =6724。

  由上例看出,因為29比30少1,所以給29“補”1,這叫“補少”;因為 82比80多2,所以從82中“移走”2,這叫“移多”。因為是兩個相同數相乘,所以對其中一個數“移多補少”后,還需要在另一個數上“找齊”。本例中,給一個29補1,就要給另一個29減1;給一個82減了2,就要給另一個82加上2。最后,還要加上“移多補少”的數的平方。

  由湊整補零法計算352,得

  35×35=40×30+52=1225。這與三年級學的個位數是5的數的平方的速算方法結果相同。

  這種方法不僅適用于求兩位數的平方值,也適用于求三位數或更多位數的平方值。

  例4 求9932和20042的值。

  解:9932=993×993

  =(993+7)×(993-7)+72

  =1000×986+49

  =986000+49

  =986049。

  20042=2004×2004

  =(2004-4)×(2004+4)+42

  =2000×2008+16

  =4016000+16

  =4016016。

  下面,我們介紹一類特殊情況的乘法的速算方法。

  請看下面的算式:

  66×46,73×88,19×44。

  這幾道算式具有一個共同特點,兩個因數都是兩位數,一個因數的十位數與個位數相同,另一因數的十位數與個位數之和為10。這類算式有非常簡便的速算方法。

  例5 88×64=?

  分析與解:由乘法分配律和結合律,得到

  88×64

  =(80+8)×(60+4)

  =(80+8)×60+(80+8)×4

  =80×60+8×60+80×4+8×4

  =80×60+80×6+80×4+8×4

  =80×(60+6+4)+8×4

  =80×(60+10)+8×4

  =8×(6+1)×100+8×4。

  于是,我們得到下面的速算式:

  由上式看出,積的末兩位數是兩個因數的個位數之積,本例為8×4;積中從百位起前面的數是“個位與十位相同的因數”的十位數與“個位與十位之和為10的因數”的十位數加1的乘積,本例為8×(6+1)。

  例6 77×91=?

  解:由例3的解法得到

  由上式看出,當兩個因數的個位數之積是一位數時,應在十位上補一個0,本例為7×1=07。

  用這種速算法只需口算就可以方便地解答出這類兩位數的乘法計算。

  練習1

  1.求下面10個數的總和:

  165,152,168,171,148,156,169,161,157,149。

  2.農業科研小組測定麥苗的生長情況,量出12株麥苗的高度分別為(單位:厘米):

  26,25,25,23,27,28,26,24,29,27,27,25。求這批麥苗的平均高度。

  3.某車間有9個工人加工零件,他們加工零件的個數分別為:

  68,91,84,75,78,81,83,72,79。

  他們共加工了多少個零件?

  4.計算:

  13+16+10+11+17+12+15+12+16+13+12。

  5.計算下列各題:

  (1)372; (2)532; (3)912;

  (4)682: (5)1082; (6)3972。

  6.計算下列各題:

  (1)77×28;(2)66×55;

  (3)33×19;(4)82×44;

  (5)37×33;(6)46×99。

來源:網絡

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